Himnu škole preuzmite OVDJE
Login
Vijesti
Zakon vjerojatnosti
Zakon vjerojatnosti
Autor: Robert Majetić, 29.04.2008
Zakoni vjerojatnosti utječu na čitav naš život. Sutra možemo dobiti na lutriji, ali nas može i pregaziti auto. Nitko ne može sa sigurnošću reći kakva je budućnost. Pa ipak, ako raspolažemo valjanim informacijama, možemo odrediti barem vjerojatnost da će se nešto dogoditi.
Kad bacimo novčić, vjerojatnost da će pasti na pismo je 50:50, a isto tolika da će pasti na glavu. Međutim, kad govorimo o šansi 50:50, ne izražavamo se potpuno točno jer se u računu vjerojatnosti vjerojatnost nekog zbivanja određuje brojem njegovih ponavljanja prema ukupnom broju zbivanja. Zbog toga bismo trebali reći kako vjerojatnost da će novčić pasti na pismo ili glavu iznosi 50 naprama 100. Isto tako možemo reći i da je vjerojatnost 50%, 0,5, 1 od 2 ili ½.
Izgledi
Umjesto o vjerojatnosti, ponekad možemo govoriti i o izgledima da se nešto dogodi. Izgled je omjer vjerojatnosti da se nešto dogodi, i vjerojatnosti da se to nešto neće dogoditi. Tako su izgledi da novčić padne na pismo jednaki 1 naprama 1, pa velimo da su oni jednaki. Kad kažemo da bacanje novčića može imati samo dva ishoda, zanemarujemo malu vjerojatnost da padne na rub. Ako bismo takav ishod zanemarili te novčić bacili ponovno, spomenuta činjenica nimalo ne mijenja naše računanje vjerojatnosti.
Pretpostavimo sada da smo odjednom bacili dva novčića. Rezultat će biti ili dva pisma, ili dvije glave, ili jedno pismo i jedna glava. Zbog toga bismo možda očekivali da će vjerojatnost svakog od tih ishoda biti 1/3.A ipak, ako dva novčića bacimo jako mnogo puta, vidjet ćemo da se dva pisma pojavljuju u otprilike 25% slučajeva, baš kao i dvije glave, a da se kombinacija pisma i glave pojavljuje u otprilike 50% slučajeva. Stoga se čini kako vjerojatnost da se pojave dva pisma ili dvije glave iznosi 25/100 ili ¼, a vjerojatnost da se pojave jedno pismo i jedna glava oko 50/100 ili 1/2. Zašto je to tako?
Do odgovora ćemo lako doći ako bacamo jedan bakreni i jedan nikleni novčić. Kombinacija pisma i glave može nastati na dva načina: bakrena glava i nikleno pismo, ili bakreno pismo i niklena glava. Stoga ne postoje tri, nego zapravo četiri moguća ishoda. Dva od njih nam daju pismo i glavu, dok samo jedan ishod daje dvije glave i još jedan dva pisma. Zbog toga se kombinacija pismo-glava i pojavljuje otprilike dvaput češće od preostale dvije. Izgledi su u tom slučaju 1 naprama 2 za dva pisma, i 1 naprama 2 za dva pisma, i 1 naprama 1 (jednaki izgledi) da ćemo dobiti jedno pismo i jednu glavu.
Permutacije
U slučaju bacanja dva novčića, matematičar bi rekao da postoje četiri permutacije pisma i glave, ali samo tri moguće kombinacije. Drugim riječima, pismo-glava je jedna permutacija, glava-pismo druga, ali one tvore istu kombinaciju. To može malo zbunjivati, zato što se u svakodnevnome životu tim riječima služimo drukčije. Kombinacijska brava koja se otvara na 1-2-3-4, neće se otvoriti na 1-3-2-4. Iako je riječ o istoj matematičkoj kombinaciji, ipak su to dvije različite permutacije. Zbog toga bi tu spravu bilo primjerenije nazvati permutacijskom bravom. Isto bismo mogli reći i za Loto – ne dobitna kombinacija, nego dobitna permutacija!
Ukupan broj permutacija koje možemo dobiti bacanjem novčića možemo izračunati tako da pomnožimo broj načina na koji svaki novčić može pasti. S dva novčića dobijemo 2 x 2 = 4 permutacije. S četiri ćemo novčića imati 2 x 2 x 2 x 2 = 16 permutacija.
Na sličan način možemo izračunati i broj permutacija za kocku. Tako, primjerice, kad bacamo po dvije kocke, dobivamo 6 x 6 = 36 permutacija, a bacanjem tri kocke dobivamo 6 x 6 x 6 = 216 mogućih permutacija.
Izaberemo li nasumce dvoje ljudi, kakva je vjerojatnost da im rođendan pada na isti dan? Ako na trenutak zanemarimo komplikacije koje nastaju zbog prijestupne godine, otkrit ćemo da je vjerojatnost toga jednaka 1 naprama 365. Drugim riječima, vjerojatnost da se to dogodi je vrlo mala.
Ali ako sad, recimo, uzmemo razred od 36 djece, možda bismo pomislili da je vjerojatno da dvoje (ili više njih) ima rođendan u isti dan i dalje mala – možda 36 u 365, ili malo manje od 1 naprama 10. Zbog toga će nas iznenaditi kad otkrijemo da vjerojatnost toga iznosi oko 80 posto. Zapravo je u skupini od preko 23 ljudi vrlo vjerojatno da dvoje ili više njih rođendan slavi u isti dan.
Jedna je od poteškoća pri rješavanju ovoga problema postojanje mnogo mogućih permutacija. Ivica i Marica možda imaju rođendan u isti dan, no to možda vrijedi i za Maricu i Baricu, ili za bilo koji drugi par u razredu. Tako u razredu od 36 učenika imamo 630 raznih parova. To je tako zato što prvi član para možemo izabrati na 36 načina, a 35 načina je preostalo da se izabere druga osoba. Pomnožimo li 36 s 35 dobivamo 1260 permutacija, ali je broj kombinacija upola manji zato što, primjerice, permutacije Ivica-Marica i Marica-Ivica daju istu kombinaciju. Zbog toga je ukupni broj kombinacija 1260/2 = 630. Nasreću, ipak ne moramo razmatrati svaku od tih mogućnosti jer nam je poznat i najjednostavniji način rješavanja tog problema. Mi, naime, možemo razmotriti kolika je vjerojatnost da se datumi rođendana uopće ne poklapaju.
Zamolimo li učenike u razredu da nam redom govore kad im je rođendan, vjerojatnost da će drugi biti drukčiji od prvog iznosi 364 naprama 365, ili 364/365. Vjerojatnost da će treći biti različit od prva dva bit će 363 naprama 365, zato što sad postoje dva datuma od njih 365 koja bi se mogla poklopiti. Nastavimo li tako dalje, otkrit ćemo kako je vjerojatnost da 36 učenika nema rođendan kad i netko drugi iznosi 330/365, ili oko 90 posto. Vjerojatnost, međutim, da nitko u razredu nema rođendan kad i netko drugi dobit ćemo množenjem svih pojedinačnih razlomaka. Pokušajmo to učiniti na kalkulatoru, pa ćemo otkriti da vjerojatnost da se niti dva rođendana ne poklope iznosi otprilike 20 posto. Zbog toga vjerojatnost da će se dva rođendana poklopiti iznosi oko 80 posto.
U prosjeku
Kad kažemo da postoji vjerojatnost od 50% da će se nešto dogoditi, mi zapravo tvrdimo da će se to u prosjeku, ili kroz vrlo drugo vrijeme dogoditi u otprilike 50% slučajeva. Pa ipak, rezultati dobiveni u nekoliko pokušaja mogu biti sasvim drukčiji. Uzmimo za primjer krajnji slučaj. Ako novčić bacimo samo jednom, pokazat će se da je on u 100% slučajeva pao na pismo ili na glavu. Međutim, kod velikog broja bacanja postotak pisama, kao i glava, bit će oko 50 posto. Neki ljudi na temelju toga pogrešno pretpostavljaju da nam ta činjenica pomaže da predvidimo buduće, sasvim slučajne, događaje. Ako se, primjerice, dogodi da novčić četiri puta zaredom padne na glavu, oni će reći da je „zbog zakona prosjeka“ vjerojatnije da će sljedeći put pasti na pismo.
Oni to tvrde zato što su, da bi se prosjek ikad približio vrijednosti od 50%, potrebna i pisma. A zapravo, kod velikog broja bacanja, vjerojatnost da bi udio glava iznosio točno 50% iznimno je mala. Riječ je naprosto o vrijednosti oko koje će se, kod velikog broja bacanja, grupirati rezultati. Obično će ipak postojati neka razlika između izračunatog i stvarnog broja. Ako kod 1000 bacanja imamo, recimo, samo četiri glave viška (502 glave, 498 pisama), dobit ćemo rezultat vrlo blizak predviđenoj vrijednosti od 50% glava, i to ćemo shvatiti kao potvrdu našega računa.
Pravilo glasi da ishod jednog slučajnog zbivanja te vrste ne utječe na ishod sljedećeg. Takve događaje nazivamo neovisnima. Razumije se, bude li novčić stalno padao na glavu, možemo pomisliti da se uopće i ne radi o slučajnom zbivanju. Možda se to zbiva i zato što novčić ima dvije glave.
Ali nisu svi događaji nezavisni. Tako, primjerice, vjerojatnost da ćemo iz obično špila od 52 karte izvući kartu crvene boje iznosi 50%. Međutim, nakon što smo izvukli jednu crvenu kartu, među preostalima (51) ih je još 25. Stoga će vjerojatnost da će sljedeća karta biti crvena iznositi 25/51, ili oko 49 posto. Ako izvučenu kartu svaki put vratimo u špil, razumije se da će vjerojatnost izvlačenja crvene karte uvijek biti 50 posto.
U nekim kartaškim igrama igrači mogu dobiti partiju ako pamte karte koje su već igrale, pa znaju izračunati kakvi su izgledi da se pojave karte koje trebaju njima ili suigračima. Tako, primjerice, u pokeru, igrači često dižu ulog na temelju predviđanja da su dobili dobre karte.
Kladionice
U hazardnim se igrama obično, za zabavu ili zbog dobiti, kladimo da će se nešto dogoditi. Kod nekih ljudi hazardiranje može postati prisilnom navikom, pa mogu izgubiti velike svote novca. Ponekad se netko i uspije obogatiti na kocki, ali većina ljudi na dugi rok samo gubi. To je zato što pojedinci i kompanije koji organiziraju kockanje čine to radi zarade, a ona mora doći od mušterija. Kladioničari na trkama stječu dobit jer igračima nude šanse niže od stvarnih. Ako, primjerice, u trkama sudjeluje 6 savršeno jednakovrijednih lovačkih pasa, šansa će svakoga da pobijedi biti ravna 1 naprama 6. Zbog toga će stvarni izgledi svakoga psa biti 1 naprama 5. Kladioničar će, međutim, ponuditi okladu u omjeru samo 4 naprama 1. To znači da će svatko tko uloži na dobitnika vratiti ulog i dobiti još četiri puta toliko novca. Ako šest ljudi uloži po 100 kuna, svaki na drugog psa, kladioničar će inkasirati 600 kuna. Koji god pas da pobijedi, on će isplatiti 500 kuna, to jest ulog od 100 kuna i još zgoditak od 400. Tako će njemu ostati dobit od 100 kuna.
Lutrija
U praksi kladioničar mijenja omjer dobitka prema količini uloženog novca. Ako je na nekog psa uloženo jako puno, on će smanjiti omjer da bi, u slučaju da on pobijedi, smanjio isplatu. Isto će tako taj omjer povećati u slučaju psa na kojeg je uloženo malo novca, kako bi ljude potakao da se na njega klade. Gledano dugoročno, međutim, kladioničar dobiva, a igrači gube.
Lutrija je krajnost takvoga klađenja. Izgledi da se dobije premija kod velikih su nacionalnih lutrija ponekad manji i od 1 naprama 10 milijuna. Pa ipak je ljudi igraju zato što, riskirajući neznatan gubitak, mogu dobiti golemu nagradu.
Osiguranje
Mnogi se ljudi protive svakoj vrsti kockanja. Ipak, to čini svatko od nas. Svako prelaženje preko ceste donosi rizik, jer neke pješake pregazi auto. Posljedice slučajne prometne nesreće možemo, međutim, ublažiti tako da se osiguramo. Osiguranje je posebna vrsta oklade jer se nadamo da ćemo je izgubiti. Mi se, u stvari, kladimo s osiguravajućom kompanijom da će nam se dogoditi neka nesreća. Ako nam se dogodi, dobili smo okladu pa nam osiguravajuće društvo isplaćuje naknadu, ili je, ako umremo, daje našim nasljednicima. Jednako kao kladioničari, i osiguravajuće kompanije ostvaruju dobit tako što isplaćuju manje nego što dobivaju.
Članak je izvorno objavljen u 21. broju časopisa Drvo znanja
Izgledi
Umjesto o vjerojatnosti, ponekad možemo govoriti i o izgledima da se nešto dogodi. Izgled je omjer vjerojatnosti da se nešto dogodi, i vjerojatnosti da se to nešto neće dogoditi. Tako su izgledi da novčić padne na pismo jednaki 1 naprama 1, pa velimo da su oni jednaki. Kad kažemo da bacanje novčića može imati samo dva ishoda, zanemarujemo malu vjerojatnost da padne na rub. Ako bismo takav ishod zanemarili te novčić bacili ponovno, spomenuta činjenica nimalo ne mijenja naše računanje vjerojatnosti.
Pretpostavimo sada da smo odjednom bacili dva novčića. Rezultat će biti ili dva pisma, ili dvije glave, ili jedno pismo i jedna glava. Zbog toga bismo možda očekivali da će vjerojatnost svakog od tih ishoda biti 1/3.
A ipak, ako dva novčića bacimo jako mnogo puta, vidjet ćemo da se dva pisma pojavljuju u otprilike 25% slučajeva, baš kao i dvije glave, a da se kombinacija pisma i glave pojavljuje u otprilike 50% slučajeva. Stoga se čini kako vjerojatnost da se pojave dva pisma ili dvije glave iznosi 25/100 ili ¼, a vjerojatnost da se pojave jedno pismo i jedna glava oko 50/100 ili 1/2. Zašto je to tako?Do odgovora ćemo lako doći ako bacamo jedan bakreni i jedan nikleni novčić. Kombinacija pisma i glave može nastati na dva načina: bakrena glava i nikleno pismo, ili bakreno pismo i niklena glava. Stoga ne postoje tri, nego zapravo četiri moguća ishoda. Dva od njih nam daju pismo i glavu, dok samo jedan ishod daje dvije glave i još jedan dva pisma. Zbog toga se kombinacija pismo-glava i pojavljuje otprilike dvaput češće od preostale dvije. Izgledi su u tom slučaju 1 naprama 2 za dva pisma, i 1 naprama 2 za dva pisma, i 1 naprama 1 (jednaki izgledi) da ćemo dobiti jedno pismo i jednu glavu.
Permutacije
U slučaju bacanja dva novčića, matematičar bi rekao da postoje četiri permutacije pisma i glave, ali samo tri moguće kombinacije. Drugim riječima, pismo-glava je jedna permutacija, glava-pismo druga, ali one tvore istu kombinaciju. To može malo zbunjivati, zato što se u svakodnevnome životu tim riječima služimo drukčije. Kombinacijska brava koja se otvara na 1-2-3-4, neće se otvoriti na 1-3-2-4. Iako je riječ o istoj matematičkoj kombinaciji, ipak su to dvije različite permutacije. Zbog toga bi tu spravu bilo primjerenije nazvati permutacijskom bravom. Isto bismo mogli reći i za Loto – ne dobitna kombinacija, nego dobitna permutacija!
Ukupan broj permutacija koje možemo dobiti bacanjem novčića možemo izračunati tako da pomnožimo broj načina na koji svaki novčić može pasti. S dva novčića dobijemo 2 x 2 = 4 permutacije. S četiri ćemo novčića imati 2 x 2 x 2 x 2 = 16 permutacija.
Na sličan način možemo izračunati i broj permutacija za kocku. Tako, primjerice, kad bacamo po dvije kocke, dobivamo 6 x 6 = 36 permutacija, a bacanjem tri kocke dobivamo 6 x 6 x 6 = 216 mogućih permutacija.
Izaberemo li nasumce dvoje ljudi, kakva je vjerojatnost da im rođendan pada na isti dan? Ako na trenutak zanemarimo komplikacije koje nastaju zbog prijestupne godine, otkrit ćemo da je vjerojatnost toga jednaka 1 naprama 365. Drugim riječima, vjerojatnost da se to dogodi je vrlo mala.
Ali ako sad, recimo, uzmemo razred od 36 djece, možda bismo pomislili da je vjerojatno da dvoje (ili više njih) ima rođendan u isti dan i dalje mala – možda 36 u 365, ili malo manje od 1 naprama 10. Zbog toga će nas iznenaditi kad otkrijemo da vjerojatnost toga iznosi oko 80 posto. Zapravo je u skupini od preko 23 ljudi vrlo vjerojatno da dvoje ili više njih rođendan slavi u isti dan.Jedna je od poteškoća pri rješavanju ovoga problema postojanje mnogo mogućih permutacija. Ivica i Marica možda imaju rođendan u isti dan, no to možda vrijedi i za Maricu i Baricu, ili za bilo koji drugi par u razredu. Tako u razredu od 36 učenika imamo 630 raznih parova. To je tako zato što prvi član para možemo izabrati na 36 načina, a 35 načina je preostalo da se izabere druga osoba. Pomnožimo li 36 s 35 dobivamo 1260 permutacija, ali je broj kombinacija upola manji zato što, primjerice, permutacije Ivica-Marica i Marica-Ivica daju istu kombinaciju. Zbog toga je ukupni broj kombinacija 1260/2 = 630. Nasreću, ipak ne moramo razmatrati svaku od tih mogućnosti jer nam je poznat i najjednostavniji način rješavanja tog problema. Mi, naime, možemo razmotriti kolika je vjerojatnost da se datumi rođendana uopće ne poklapaju.
Zamolimo li učenike u razredu da nam redom govore kad im je rođendan, vjerojatnost da će drugi biti drukčiji od prvog iznosi 364 naprama 365, ili 364/365. Vjerojatnost da će treći biti različit od prva dva bit će 363 naprama 365, zato što sad postoje dva datuma od njih 365 koja bi se mogla poklopiti. Nastavimo li tako dalje, otkrit ćemo kako je vjerojatnost da 36 učenika nema rođendan kad i netko drugi iznosi 330/365, ili oko 90 posto. Vjerojatnost, međutim, da nitko u razredu nema rođendan kad i netko drugi dobit ćemo množenjem svih pojedinačnih razlomaka. Pokušajmo to učiniti na kalkulatoru, pa ćemo otkriti da vjerojatnost da se niti dva rođendana ne poklope iznosi otprilike 20 posto. Zbog toga vjerojatnost da će se dva rođendana poklopiti iznosi oko 80 posto.
U prosjeku
Kad kažemo da postoji vjerojatnost od 50% da će se nešto dogoditi, mi zapravo tvrdimo da će se to u prosjeku, ili kroz vrlo drugo vrijeme dogoditi u otprilike 50% slučajeva. Pa ipak, rezultati dobiveni u nekoliko pokušaja mogu biti sasvim drukčiji. Uzmimo za primjer krajnji slučaj. Ako novčić bacimo samo jednom, pokazat će se da je on u 100% slučajeva pao na pismo ili na glavu. Međutim, kod velikog broja bacanja postotak pisama, kao i glava, bit će oko 50 posto. Neki ljudi na temelju toga pogrešno pretpostavljaju da nam ta činjenica pomaže da predvidimo buduće, sasvim slučajne, događaje. Ako se, primjerice, dogodi da novčić četiri puta zaredom padne na glavu, oni će reći da je „zbog zakona prosjeka“ vjerojatnije da će sljedeći put pasti na pismo.
Oni to tvrde zato što su, da bi se prosjek ikad približio vrijednosti od 50%, potrebna i pisma. A zapravo, kod velikog broja bacanja, vjerojatnost da bi udio glava iznosio točno 50% iznimno je mala. Riječ je naprosto o vrijednosti oko koje će se, kod velikog broja bacanja, grupirati rezultati. Obično će ipak postojati neka razlika između izračunatog i stvarnog broja. Ako kod 1000 bacanja imamo, recimo, samo četiri glave viška (502 glave, 498 pisama), dobit ćemo rezultat vrlo blizak predviđenoj vrijednosti od 50% glava, i to ćemo shvatiti kao potvrdu našega računa.
Pravilo glasi da ishod jednog slučajnog zbivanja te vrste ne utječe na ishod sljedećeg. Takve događaje nazivamo neovisnima. Razumije se, bude li novčić stalno padao na glavu, možemo pomisliti da se uopće i ne radi o slučajnom zbivanju. Možda se to zbiva i zato što novčić ima dvije glave.Ali nisu svi događaji nezavisni. Tako, primjerice, vjerojatnost da ćemo iz obično špila od 52 karte izvući kartu crvene boje iznosi 50%. Međutim, nakon što smo izvukli jednu crvenu kartu, među preostalima (51) ih je još 25. Stoga će vjerojatnost da će sljedeća karta biti crvena iznositi 25/51, ili oko 49 posto. Ako izvučenu kartu svaki put vratimo u špil, razumije se da će vjerojatnost izvlačenja crvene karte uvijek biti 50 posto.
U nekim kartaškim igrama igrači mogu dobiti partiju ako pamte karte koje su već igrale, pa znaju izračunati kakvi su izgledi da se pojave karte koje trebaju njima ili suigračima. Tako, primjerice, u pokeru, igrači često dižu ulog na temelju predviđanja da su dobili dobre karte.
Kladionice
U hazardnim se igrama obično, za zabavu ili zbog dobiti, kladimo da će se nešto dogoditi. Kod nekih ljudi hazardiranje može postati prisilnom navikom, pa mogu izgubiti velike svote novca. Ponekad se netko i uspije obogatiti na kocki, ali većina ljudi na dugi rok samo gubi. To je zato što pojedinci i kompanije koji organiziraju kockanje čine to radi zarade, a ona mora doći od mušterija. Kladioničari na trkama stječu dobit jer igračima nude šanse niže od stvarnih. Ako, primjerice, u trkama sudjeluje 6 savršeno jednakovrijednih lovačkih pasa, šansa će svakoga da pobijedi biti ravna 1 naprama 6. Zbog toga će stvarni izgledi svakoga psa biti 1 naprama 5. Kladioničar će, međutim, ponuditi okladu u omjeru samo 4 naprama 1. To znači da će svatko tko uloži na dobitnika vratiti ulog i dobiti još četiri puta toliko novca. Ako šest ljudi uloži po 100 kuna, svaki na drugog psa, kladioničar će inkasirati 600 kuna. Koji god pas da pobijedi, on će isplatiti 500 kuna, to jest ulog od 100 kuna i još zgoditak od 400. Tako će njemu ostati dobit od 100 kuna.
Lutrija
U praksi kladioničar mijenja omjer dobitka prema količini uloženog novca. Ako je na nekog psa uloženo jako puno, on će smanjiti omjer da bi, u slučaju da on pobijedi, smanjio isplatu. Isto će tako taj omjer povećati u slučaju psa na kojeg je uloženo malo novca, kako bi ljude potakao da se na njega klade. Gledano dugoročno, međutim, kladioničar dobiva, a igrači gube.
Lutrija je krajnost takvoga klađenja. Izgledi da se dobije premija kod velikih su nacionalnih lutrija ponekad manji i od 1 naprama 10 milijuna. Pa ipak je ljudi igraju zato što, riskirajući neznatan gubitak, mogu dobiti golemu nagradu.
Osiguranje
Mnogi se ljudi protive svakoj vrsti kockanja. Ipak, to čini svatko od nas. Svako prelaženje preko ceste donosi rizik, jer neke pješake pregazi auto. Posljedice slučajne prometne nesreće možemo, međutim, ublažiti tako da se osiguramo. Osiguranje je posebna vrsta oklade jer se nadamo da ćemo je izgubiti. Mi se, u stvari, kladimo s osiguravajućom kompanijom da će nam se dogoditi neka nesreća. Ako nam se dogodi, dobili smo okladu pa nam osiguravajuće društvo isplaćuje naknadu, ili je, ako umremo, daje našim nasljednicima. Jednako kao kladioničari, i osiguravajuće kompanije ostvaruju dobit tako što isplaćuju manje nego što dobivaju.
Članak je izvorno objavljen u 21. broju časopisa Drvo znanja
Pošalji prijatelju
objavio: Sonja Bulešić Milić datum: 20. 9. 2008.
Korisne poveznice
http://www.skole.hr/ CARNetov portal za škole
http://www.mzos.hr Ministarstvo znanosti i obrazovanja
http://www.azoo.hr/ Agencija za odgoj i obrazovanje
http://mrav.ffzg.hr/zanimanja/ Vodič kroz zanimanja
http://www.efpu.hr/ Sveučilište Jurja Dobrile u Puli, Odjel za ekonomiju i turizam "Dr. Mijo Mirković"
http://www.unipu.hr/ Sveučilište Jurja Dobrile u Puli, Odjeli, članice, studiji
http://www.uniri.hr Sveučilište u Rijeci (stranice svih članica)
http://www.unizg.hr Sveučilište u Zagrebu (stranice svih članica)
http://www.skpu.hr Sveučilišna knjižnica u Puli (s online katalogom)
Dokumenti za prikaz
POPIS
PROGRAM
Kalendar
| « Prosinac 2024 » | ||||||
| Po | Ut | Sr | Če | Pe | Su | Ne |
| 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 1 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
| 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 |
| 30 | 31 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Korisni linkovi
Korisne poveznice |  |
| • Postani student |
| • Moja matura |
| • NCVVO |
| • Portal skole.hr |
| • ISTRAPEDIA |
| • ONLINE Enciklopedija |
| • INTERSTENO |
| • Suradnici u učenju |
| • Pravobranitelj za dj... |
| • Medijska pismenost |
 |
Stručni časopisi | |
|
Dnevni tisak | |
|
Vrijeme
UPISI NA VISOKA UČILIŠTA
Državna matura
Anketa (mala)
Posjetitelji weba, vi ste...
Brojač posjeta
Ispis statistike od 5. 4. 2010.
Ukupno: 1232109
Danas: 8
Ukupno: 1232109
Danas: 8
Upitnik
Tražilica
